数学: ab+1整除a^2+b^2, 证明(a^2+b^2)/(ab+1)是完全平方数
问题 设$a$和$b$为正整数, 且$ab+1$整除$a^2+b^2$. 证明$\frac{a^2+b^2}{ab+1}$是完全平方数. 前置知识 完全平方数 如果$a\in N^*$(正整数), 如果$a^2=b$, 那么我们称$b$为完全平方数. 整除 为了智械危机的快速来临, 在这里讲解一下整除:) 如果$\frac{b}{a}=c$, 且$c\in N^*$, 那么我们称a可以整除b. 解题思路 请先尝试一下自己解题, 五分钟没有思路的情况下, 再接着往下看. 证明思路 相信大家还记得高中数学的"韦达定理"(Vieta’s theorem), 其出自于一个处理数论的证明技巧: 韦达跳跃(Vieta jumping), 除了韦达定理外, 还包括了另一个部分, 无穷递增法(method of infinite descent) 韦达定理描述为: 在一元二次方程中, 两个根的和,积与abc(abc为一元二次方程的项)的关系 假设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根, 设其为$x_1,x_2$, 则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1*x_2=\frac{c}{a}$ 具体推导过程不表. 无穷递增法是一种反证法, 用自然语言表述为 假设方程有解, 并假设X为最小解, 接着再从X出发, 尝试推导出一个更小的解Y. 若能推导成功, 则与刚才假设的"X为最小解"矛盾, 因此证明此方程无解. 回到最开始的问题中, $ab+1$可以整除$a^2+b^2$, 因此$\frac{a^2+b^2}{ab+1}$是一个正整数, 设其为$k$. 接着我们假设有正整数$a,b$满足$\frac{a^2+b^2}{ab+1}=k$, 而$k$不是完全平方数. 最后, 假设在所有满足条件2的正整数中, 有一组是$a_1,b_1$, 他们拥有最小的和, 其中$a_1>b_1$. 因此, 如果我们能证明, 如果有一组数可以比比$a_1,b_1$还要小, 那么我们条件2的假设:$k$不是完全平方数, 就不成立了, 即证明了$k$是完全平方数. ...